UNIDAD 1
LÓGICA PROPOSICIONALEl término “lógica se deriva de la palabra griega logos, la cual significa razonamiento o discurso. Los antiguos griegos suelen ser considerados los iniciadores del estudio de los procesos del razonamiento humano. Los principios descubiertos por ellos fueron sistematizados, primero, por Aristóteles (384-322 A.C); y el tipo de razonamiento aristotélico constituye la lógica tradicional que ha sido estudiada y enseñada desde su época hasta nuestros días. Un ejemplo sencillo de la lógica aristotélica es el siguiente.
Todos los hombres son mortales.
Sócrates era un hombre.
Por tanto, Sócrates era mortal.
Este es un típico razonamiento conocido como silogismo.
No obstante que el estudio moderno de la lógica simbólica (que se trata en este capítulo) se basa en las investigaciones de hombres como el matemático alemán, Leibniz. (1647-1716), el simbolismo moderno y las operaciones de tipo algebraico fueron por primera vez aplicadas de manera sistemática a la lógica, en la obra del matemático inglés George Boole (1815-1864).
El estudio de la lógica se desarrolló con paso acelerado a partir del análisis de Boole, y se ha logrado un considerable progreso respecto a la comprensión de la verdad lógica. Cada vez que se trata de resolver un problema, se toma parte en un debate, o se trata de llenar un crucigrama, se realiza una actividad mental llamada razonamiento lógico, el cual, por lo regular, se expresa en términos de enunciados declarativos. En este capítulo trataremos acerca de tales enunciados.
Proposiciones
En ésta y en las siguientes secciones se estudiarán ciertos tipos de enunciados declarativos llamados proposiciones, así como la manera como pueden combinarse para llegar a conclusiones válidas.
En general, una proposición es un enunciado declarativo que puede considerarse como falso o verdadero, pero no como ambas cosas al mismo tiempo. Esta capacidad de ser calificadas como falsas o verdaderas hace que las proposiciones difieran de las preguntas, órdenes o exclamaciones. Se pueden hacer preguntas, dar órdenes y hacer exclamaciones exaltadas, pero sólo las proposiciones pueden ser calificadas como falsas o verdaderas.
Los siguientes enunciados son ejemplos de proposiciones.
Ejemplo 1
a. Caracas es la capital de Venezuela.
b. Dos es par y menor que veinte.
c. En Florida hay cinco trillones de granos de arena.
d. O estudias diariamente o repruebas este curso.
e. Si dos es par, entonces 2+2 da como resultado un número par.
Observa que la verdad o la falsedad de la primera proposición, puede verificarse mediante un examen directo, en tanto que la tercera sólo es cierta o falsa aunque no haya métodos prácticos o inmediatos para determinarlo.
En contraposición con las proposiciones del ejemplo 1, los siguientes enunciados son ejemplos de no proposiciones.
Ejemplo 2
a. ¿Qué hora es?
b. ¡Pérez para presidente!
c. ¡Hola Carlos!
d. ¡Cierra la puerta!
e. ¡Esta proposición es falsa!
Los enunciados del ejemplo 2 no son proposiciones. Observe que si se supone que (e) es verdadera, entonces resulta ser falsa; por el contrario, si se cree que es falsa entonces es verdadera. De ahí que tal enunciado no puede ser considerado como verdadero o falso, por lo que no se trata de una proposición.
REPRESENTACIÓN DE UNA PROPOSICIÓNCabe destacar que usualmente las proposiciones se pueden representar con letras minúsculas, ejemplo: p, q, r, s, m,…, a las que llamamos letras o variables proposicionales. Las proposiciones del ejemplo 1 se pueden representar de la siguiente forma:
p = Caracas es la capital de Venezuela
q = En Florida hay cinco trillones de granos de arena
Sin embargo ésta no es la única notación, algunos representan las proposiciones en letras minúsculas acompañadas de subíndices (p1, p2,..,pn). A fín de unificar la notación, en este texto utilizaremos las letras minúsculas sin subíndices.
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS:
Dos o más proposiciones pueden unirse dando origen a una proposición de estructura más compleja, a las cuales se le denomina fórmulas proposicionales, proposiciones moleculares o proposiciones compuestas.
Los componentes de estas proposiciones se llaman proposiciones simples o atómicas (vistas en la lectura anterior, Britton).
En el siguiente ejemplo, p es una proposición simple al igual que q:
p = Juan estudia en la UNEFA
q = Karina estudia en la UNEFA,
mientras que
Juan estudia en la UNEFA y Karina estudia en la UNEFA
es la proposición compuesta p y q.
Observa, que para formar la proposición anterior se unen las proposiciones simples por medio de la conjunción “y”,
Otras formas como se pueden conectar las proposiciones son:
la disyunción (o): “Juan va a la playa o Juan va al Ávila”
el condicional (si, entonces): si estudia, entonces aprueba el examen
y el bicondicional (si y sólo si):Un n es divisible por 2 si y sólo si n es par.
En muchos casos la formación de las proposiciones compuestas amerita el uso de signos de agrupación tales como: ( ), [ ] y { }.
CONECTIVAS
Denominaremos conectiva de una proposición molecular, al elemento verbal o escrito que une a las proposiciones atómicas que forman aquélla. Por extensión, a la negación de una proposición también le llamaremos conectiva.
Existen dos tipos de conectivas: las que ligan dos proposiciones atómicas o conectivas múltiples y las negaciones o conectivas singulares.
Para el desarrollo del libro, sólo necesitaremos de las seis conectivas siguientes:
“no”, “y”, “o”, “o….o” , “si … entonces” , “si y sólo si”
Ejemplos:
a) No, los tres ángulos de un triángulo rectángulo son iguales.
b) José estudia Matemáticas y José estudia violín.
c) Está nublado o hace frío.
d) O el número natural n es par o el número natural n es impar.
e) Si la nieve es negra, entonces el gato es un cuadrúpedo.
f) El triángulo tiene cuatro lados si y sólo si
Observaciones:
1a Aunque la construcción gramatical de los ejemplos a) y b) no es la más apropiada, a veces es preferible hacerlo así para evitar ambigüedades.
2a Más adelante serán debidamente aclarados los ejemplos e) y f).
Si representamos las proposiciones atómicas con p y q, las proposiciones moleculares que serán objeto de nuestro estudio, son:
a) no p, b) p y q, c) p o q,
d) o p o q, e) si p entonces q, f) p si y sólo si q
Para una mejor comprensión de las seis conectivas señaladas anteriormente, procederemos a continuación a estudiarlas por separado.
La conectiva “no” o negación: es la única conectiva singular de las que vamos a estudiar; la representación del signo “–” colocado encima de la letra proposicional, o bien con una coma en la parte superior derecha; por tanto si la letra proposicional es p, escribiremos:
o bien
y se leerá no p
Ejemplos:
a) No Caracas es la capital de Francia.
b) No la raíz cuadrada de 2 es un número racional.
Aunque en el lenguaje español ordinario, el no debe seguir al sujeto, en el lenguaje lógico se prefiere anteponerlo a la proposición para evitar ambigüedades.
La conectiva “y” o conjunción copulativa: cuyo objeto es unir dos proposiciones, la representamos con el signo ; por tanto, si las proposiciones son p y q, escribiremos :
y leeremos: p y q.
La proposición (2) es el producto lógico de las proposiciones p y q, y éstos son sus factores.
Ejemplos:
a) Hace sol y está lloviendo
b) El número 15 es divisible por 3 y por 5.
La conectiva “o” o conjunción disyuntiva inclusiva: denota alternativa y simultaneidad entre dos proposiciones, la representaremos con el signo “” ; por tanto, si las proposiciones son p y q, escribiremos :
y leeremos p o q, o bien p o/y q.
La proposición es la suma lógica de las proposiciones donde p y q son los sumandos.
Conviene aclarar que la proposición (3) debe tomarse con uno de los significados siguientes:
1° Se verifica la proposición p, pero no la q;
2° Se verifica la proposición q, pero no la p;
3° Se verifican simultáneamente las proposiciones p y q.
Ejemplos:
a) José se casa o José compra un paraguas.
La proposición molecular anterior, debe tomarse en el sentido de que José se dará por satisfecho de una de las tres formas siguientes:
· Casándose y no comprándose el paraguas
· Comprándose el paraguas y no casándose ; y
· Casándose y comprándose el paraguas.
b) El número natural n es múltiplo de 3 o de 5.
Esta proposición debemos tomarla en el sentido de que el número n puede ser:
· Múltiplo de 3 pero no de 5
· Múltiplo de 5 pero no de 3 ; y
· Múltiplo de 3 y de 5 simultáneamente.
La conectiva “o…o” o conjunción disyuntiva exclusiva, indica alternativa entre dos proposiciones p y q, la representaremos con el signo “”. La proposición molecular vendrá representada, pues, en la forma:
y leeremos o p o q, o bien p o q, pero no ambos.
La proposición anterior es la suma booleana de las proposiciones p y q y éstas son los sumandos.
La proposición (4) debe tomar p y q con uno de los dos significados siguientes:
· Se verifica p , pero no q .
· Se verifica q , pero no p .
Ejemplos:
a) O voy esta tarde al teatro o voy al cine.
Esta proposición debe tomarse en el sentido de que si voy al teatro no voy al cine y de que si voy al cine no iré al teatro, pero de que iré a uno de estos espectáculos.
b) El número real o es racional o es irracional.
El significado de la proposición anterior está bien claro, pues un número real puede ser racional o irracional, pero no ambas cosas a la vez.
La conectiva “si….entonces” o condicional: se usa para obtener una proposición molecular a partir de dos atómicas, sin pretender en ningún momento que el enunciado obtenido vaya a responder siempre a la idea gramatical ordinaria que se tiene sobre éstos.
La conectiva condicional la representamos con el signo “”; por tanto, la proposición molecular correspondiente a las proposiciones p y q deberá ser escrita en la forma:
Leeremos si p entonces q
En la proposición anterior p es el antecedente y q el consecuente del condicional.
Ejemplos:
a) Si los elefantes vuelan, entonces la nieve es negra.
b) Si los triángulos tienen cuatro lados, entonces Madrid es la capital de España.
Los ejemplos anteriores extrañarán al lector desprevenido, pues les parecerán (y estarán en lo cierto) enunciados incoherentes y desprovistos de todo significado; pero si revisa de nuevo la definición de la conectiva en estudio, podrá comprobar que dichos ejemplos son efectivamente proposiciones moleculares, independientemente de que sean verdaderas o falsas las proposiciones p y q, y de que entre éstas exista o no dependencia.
La conectiva “si y sólo si” o bicondicional: se usa (al igual que la anterior) para obtener una proposición molecular a partir de dos atómicas, prescindiendo de que el enunciado obtenido tenga o no sentido gramatical y de que entre las proposiciones atómicas componentes exista o no dependencias.
Aún cuando, de acuerdo con la definición, ésta conectiva coincide con la anterior, al estudiar las tablas de verdad tendremos oportunidad de establecer las debidas diferencias entre ambas.
La conectiva bicondicional la representaremos con el signo “”; por tanto, la proposición molecular correspondiente a las proposiciones p y q deberá ser escrita de la forma:
Leeremos p si y sólo si q.
En esta, p es el antecedente y q el consecuente del bicondicional.
Ejemplos:
(a) Los gatos son vertebrados si, y sólo si, Paris es la capital de Francia.
(b) Los números pares son divisibles por dos si, y sólo si, los pentágonos tienen cuatro lados.
TABLAS DE VERDADPara la construcción de la tabla, la dividimos en dos partes. La parte izquierda la llamaremos margen y a la derecha la llamaremos cuerpo.
En el margen colocaremos los valores de verdad de las variables proposicionales que intervienen. El número de dichas componentes determina la cantidad de posibles combinaciones de valores de verdad que aparecerán en la tabla. Este número total de combinaciones se calcula con la operación , donde la base indica los únicos dos valores que puede asumir una variable proposicional (V o F), y el exponente el número de variables proposicionales que intervienen, ejemplo:
